ECUACIONES DIFERENCIALES
De la turbina al semáforo: el lenguaje con el que la ingeniería describe el cambio
Una ecuación diferencial no describe cuánto vale algo, sino cuán rápido cambia. Esa diferencia es la que separa a un ingeniero que reacciona de uno que anticipa. Acá está el mismo aparato matemático resolviendo cinco problemas que parecen no tener nada en común.
Modelando la realidad
El mundo industrial es multivariable: temperatura, presión, tiempo y costo interactúan al mismo tiempo. Cuando el cambio ocurre respecto de varias variables a la vez, pasamos de EDO a ecuaciones en derivadas parciales, y el resultado deja de ser una curva para convertirse en una superficie.
Superficie de costo $C(x,y)$. Los valles son los mínimos operativos. Optimizar es encontrarlos sin recorrer la superficie completa: para eso existe $\nabla C = 0$.
Superficie de costo con dos variables de decisión. Arrastra para rotar.
1. La misma ecuación en cuatro disciplinas
Esto es lo que casi nunca se dice en clases y es lo más útil de todo el curso: una masa colgando de un resorte, un circuito RLC, un estanque con amortiguación hidráulica y un termostato mal calibrado obedecen la misma ecuación. Cambian los símbolos, no la estructura.
| Sistema | Ecuación | Inercia (a) | Disipación (b) | Restitución (c) | Forzante f(t) |
|---|---|---|---|---|---|
| Mecánico masa–resorte |
$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t)$ | Masa $m$ | Amortiguador $c$ | Rigidez $k$ | Fuerza externa |
| Eléctrico RLC serie |
$L\ddot{q} + R\dot{q} + \tfrac{1}{C}q = E(t)$ | Inductancia $L$ | Resistencia $R$ | $1/C$ | Fuente de voltaje |
| Hidráulico columna de líquido |
$\rho A \ddot{h} + b\dot{h} + \rho g A h = P(t)$ | Masa de fluido | Pérdidas por fricción | Gravedad | Presión de bomba |
| Térmico (1er orden) |
$C_t\dot{T} + \tfrac{1}{R_t}T = \dot{Q}(t)$ | — | Capacidad térmica | Conductancia | Fuente de calor |
Por qué importa para tu certamen: si entiendes el comportamiento de $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F(t)$, ya entendiste el circuito RLC, el control de nivel de un estanque y la respuesta térmica de un horno. Estudiar cuatro ecuaciones por separado es la forma cara de aprobar.
2. Mecánica: vibraciones, amortiguación y resonancia
Toda estructura que vibra —un puente, un eje, la carcasa de una bomba— responde a $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F(t)$. Lo que decide si el sistema se estabiliza o se destruye no es la masa ni la rigidez por separado, sino el factor de amortiguamiento $\zeta = \dfrac{c}{2\sqrt{km}}$.
Respuesta libre según el amortiguamiento
Desplazamiento tras un golpe inicial. Las tres curvas salen de la misma ecuación; solo cambia $\zeta$.
Oscila y se apaga. Raíces complejas conjugadas. Es el caso de casi toda máquina real.
Vuelve al equilibrio en el menor tiempo posible sin oscilar. Es el objetivo de diseño de un amortiguador de auto o del cierre de una puerta cortafuego.
No oscila, pero demora. Raíces reales distintas. Sobra amortiguación y se paga en tiempo de respuesta.
El problema de la resonancia
Si la frecuencia de la fuerza externa se acerca a la frecuencia natural del sistema $\omega_n = \sqrt{k/m}$, la amplitud crece de forma abrupta. Con $\zeta$ pequeño, la amplificación puede superar diez veces la deformación estática.
En la práctica esto explica por qué un motor mal balanceado destruye su propio anclaje, por qué ciertos rangos de RPM están prohibidos en la ficha técnica de un equipo, y por qué la solución rara vez es "reforzar": muchas veces basta con correr la frecuencia natural cambiando masa o rigidez.
Factor de amplificación dinámica
Amplificación vs. razón de frecuencias $r=\omega/\omega_n$, para distintos $\zeta$.
3. Electricidad: el circuito RLC es el mismo problema
Aplicando la ley de mallas de Kirchhoff a un circuito RLC en serie, con la carga $q(t)$ como incógnita:
Compárala con la ecuación mecánica de la sección anterior. Son idénticas. La resistencia hace exactamente lo que el amortiguador: disipa energía. Y las tres respuestas posibles son las mismas tres, con el mismo criterio:
Aplicación industrial: es el fenómeno detrás del arco eléctrico al abrir un contactor, del dimensionamiento de snubbers y de por qué un banco de condensadores mal especificado puede entrar en resonancia con la inductancia de la red.
Respuesta al escalón de voltaje
Voltaje en el condensador ante un escalón. Misma forma que la respuesta mecánica: misma ecuación característica.
4. Electrónica: la constante de tiempo lo gobierna todo
Baja un orden: un circuito RC es una EDO de primer orden, $RC\dfrac{dv}{dt} + v = V_{in}(t)$, cuya solución ante un escalón es $v(t) = V\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ con $\tau = RC$. Todo el diseño electrónico de tiempos —rebote de un pulsador, filtrado de ruido, temporización, muestreo de un sensor— se decide eligiendo $\tau$.
Carga de un condensador según $\tau$
A $t = \tau$ el sistema alcanzó el 63,2%. A $t = 5\tau$ se considera estabilizado.
Filtro pasa bajos: qué frecuencias sobreviven
Ganancia $|H(\omega)| = 1/\sqrt{1+(\omega RC)^2}$. La frecuencia de corte está en $-3$ dB.
El puente con Laplace: resolver esto en el dominio del tiempo es tedioso. Aplicando la transformada de Laplace, la EDO se vuelve álgebra: $\mathcal{L}\{v'\} = sV(s) - v(0)$, y la respuesta del circuito queda descrita por una función de transferencia $H(s)$. Ese cambio de dominio es exactamente lo que permite resolver el problema de la sección siguiente.
5. Optimización de la producción
Las líneas de producción no crecen indefinidamente. El modelo logístico $\dfrac{dP}{dt} = rP\left(1 - \dfrac{P}{K}\right)$ predice cómo la producción se aproxima a su capacidad máxima $K$ por limitaciones físicas o de personal, y permite planificar la expansión antes del estancamiento, no después.
Cómo leer la curva
- ▶ Crecimiento: aceleración inicial mientras los recursos sobran.
- ▶ Punto de inflexión: en $P = K/2$ la tasa de crecimiento es máxima; desde ahí la eficiencia marginal cae.
- ▶ Saturación: el sistema toca su techo $K$. Toda inversión adicional rinde cerca de cero sin un cambio estructural.
El punto de inflexión es la señal de gestión: es ahí, y no en la saturación, donde conviene decidir la ampliación de capacidad.
6. Logística y cadena de suministro
Mantener inventario cuesta dinero; quedarse sin stock cuesta clientes. Modelando el nivel de inventario con $\dfrac{dI}{dt} = a(t) - d(t)$, donde $a$ es reposición y $d$ demanda, se determina el punto de reorden óptimo y se minimiza el costo total de almacenamiento más pedido.
Entrada
Tasa de llegada $a(t)$
Almacén
Estado $I(t)$, gobernado por $dI/dt$
Salida
Demanda $d(t)$
Estructura de costos: política estática vs. política dinámica
Ejemplo ilustrativo con datos ficticios, construido para mostrar la forma del ahorro, no magnitudes reales.
7. Control de calidad y mantenimiento predictivo
Todo se degrada, y casi siempre lo hace de forma exponencial. La ley de enfriamiento de Newton $\dfrac{dT}{dt} = -k(T - T_{amb})$ y los modelos de decaimiento $Q(t) = Q_0 e^{-kt}$ permiten predecir cuándo una máquina cruzará su umbral de falla o cuándo un producto perecible dejará de ser viable.
Acá se cierra el círculo con la sección de mecánica: la variable que se monitorea en una turbina es la amplitud de vibración, y esa amplitud es la solución de la misma ecuación de segundo orden. El mantenimiento predictivo no es un sensor: es un modelo.
Ejemplo de aplicación
Se monitorea la integridad de un componente que decae según $Q(t)=Q_0e^{-kt}$ con umbral crítico en 60%. El modelo indica el cruce en t ≈ 34 días, y la mantención se programa al día 30. La decisión no la toma el sensor: la toma la ecuación.
Degradación exponencial contra el umbral crítico de operación.
8. Semáforos: escalón, delta de Dirac y la onda verde
Este es el ejemplo que más cuesta creer en clases y el que mejor muestra para qué sirven las funciones discontinuas que aparecen en el capítulo de Laplace. Una intersección con semáforo es un sistema dinámico forzado por señales que se prenden y se apagan, y durante décadas se modeló exactamente así.
El semáforo es una función escalón
Un semáforo no varía de forma continua: descarga vehículos a tasa de saturación $s$ mientras está en verde, y a tasa cero mientras está en rojo. Esa conmutación es precisamente el escalón unitario de Heaviside $u(t-a)$, y una fase verde de duración $g$ que empieza en $t_0$ es la resta de dos escalones:
Con eso, la dinámica de la cola $q(t)$ en un acceso queda descrita por una EDO de primer orden con forzante discontinua:
Se acumula en rojo, se descarga en verde. Si en cada ciclo la descarga alcanza a limpiar lo acumulado, la cola es periódica y estable. Si no, crece sin límite: es la condición de sobresaturación.
Dinámica de la cola bajo forzante escalón
Diente de sierra estable vs. crecimiento acumulativo cuando la demanda supera la capacidad de descarga.
Y el pelotón es una delta de Dirac
Cuando el semáforo aguas arriba se pone en verde, no llegan autos de a uno: llega un pelotón compacto, casi todo en pocos segundos. Modelar cada vehículo es innecesario; la idealización natural es un impulso concentrado, es decir, la delta de Dirac $\delta(t - \tau)$, cuya integral es 1 y cuya duración es despreciable frente al ciclo.
Esta es la razón profunda por la que en el curso de EDO aparecen juntos el escalón, la delta y la transformada de Laplace: son las tres herramientas que se necesitan para atacar un sistema lineal forzado por eventos discretos. Al pasar a Laplace, $\mathcal{L}\{\delta(t-\tau)\} = e^{-s\tau}$, y ese $e^{-s\tau}$ es literalmente el desfase entre semáforos.
Precisión necesaria: el pelotón real no se mantiene compacto. Se dispersa a medida que avanza, porque los vehículos no viajan todos a la misma velocidad. Robertson incorporó ese efecto en TRANSYT (1969) con un modelo de dispersión de pelotones. La delta es la idealización de partida, no el modelo final.
Onda verde: diagrama espacio–tiempo
Cada línea horizontal segmentada es una intersección; los tramos marcados son fase verde. La diagonal es un vehículo a velocidad constante.
Sincronizar una avenida es resolver un sistema de EDO acopladas
Una intersección aislada es una ecuación. Una avenida con $n$ semáforos es un sistema, porque lo que descarga un cruce es lo que alimenta al siguiente:
El problema de la onda verde consiste en elegir los desfases $\tau_i$ de manera que el pelotón llegue a cada cruce justo cuando se abre el verde. En el diagrama de arriba, eso equivale a que la diagonal del vehículo no toque ningún tramo rojo: si la velocidad de diseño es 50 km/h y los cruces están cada 300 m, el desfase entre semáforos consecutivos debe ser de unos 21,6 s.
1963–1976
Gazis y Potts formulan el problema de la intersección sobresaturada; Gazis (1964) lo extiende a sistemas de intersecciones y D'Ans y Gazis (1976) a redes completas. Son modelos de tipo continuo: colas descritas por ecuaciones diferenciales y control óptimo sobre los tiempos de verde, con solución de tipo bang-bang.
1969–1982
TRANSYT (Robertson, 1969) optimiza planes de tiempo fijo con perfiles de flujo y dispersión de pelotones. Le siguen los sistemas adaptativos SCOOT (1982) y SCATS (1982), que ajustan en línea con datos de espiras en el pavimento.
Hoy
Control predictivo (MPC), modelos store-and-forward de Aboudolas y Papageorgiou y aprendizaje por refuerzo. Cambió el método de solución; el modelo de estado sigue siendo acumulación menos descarga.
Referencias: Gazis y Potts, The Oversaturated Intersection (1963); Gazis, Optimum Control of a System of Oversaturated Intersections, Operations Research (1964); D'Ans y Gazis, Optimal Control of Oversaturated Store-and-Forward Transportation Networks, Transportation Science (1976); Robertson, TRANSYT (1969); Hunt et al., SCOOT (1982).
Asignación presupuestaria de referencia en una planta manufacturera (ejemplo ilustrativo).
9. Planificación financiera
La viabilidad de un proyecto industrial depende de cómo se asigna el capital en el tiempo. El interés compuesto continuo es, otra vez, una EDO: $\dfrac{dA}{dt} = rA + P(t)$, donde $P(t)$ son los aportes y $r$ la tasa instantánea.
- Proyección de costos operativos variables.
- Capitalización continua y valorización de flujos.
- Depreciación de activos con tasas no constantes.
- Asignación óptima entre I+D y operación.
ECUACIONES DIFERENCIALES
De la turbina al semáforo: el lenguaje con el que la ingeniería describe el cambio
Una ecuación diferencial no describe cuánto vale algo, sino cuán rápido cambia. Esa diferencia es la que separa a un ingeniero que reacciona de uno que anticipa. Acá está el mismo aparato matemático resolviendo cinco problemas que parecen no tener nada en común.
Modelando la realidad
El mundo industrial es multivariable: temperatura, presión, tiempo y costo interactúan al mismo tiempo. Cuando el cambio ocurre respecto de varias variables a la vez, pasamos de EDO a ecuaciones en derivadas parciales, y el resultado deja de ser una curva para convertirse en una superficie.
Superficie de costo $C(x,y)$. Los valles son los mínimos operativos. Optimizar es encontrarlos sin recorrer la superficie completa: para eso existe $\nabla C = 0$.
Superficie de costo con dos variables de decisión. Arrastra para rotar.
1. La misma ecuación en cuatro disciplinas
Esto es lo que casi nunca se dice en clases y es lo más útil de todo el curso: una masa colgando de un resorte, un circuito RLC, un estanque con amortiguación hidráulica y un termostato mal calibrado obedecen la misma ecuación. Cambian los símbolos, no la estructura.
| Sistema | Ecuación | Inercia (a) | Disipación (b) | Restitución (c) | Forzante f(t) |
|---|---|---|---|---|---|
| Mecánico masa–resorte |
$m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = F(t)$ | Masa $m$ | Amortiguador $c$ | Rigidez $k$ | Fuerza externa |
| Eléctrico RLC serie |
$L\ddot{q} + R\dot{q} + \tfrac{1}{C}q = E(t)$ | Inductancia $L$ | Resistencia $R$ | $1/C$ | Fuente de voltaje |
| Hidráulico columna de líquido |
$\rho A \ddot{h} + b\dot{h} + \rho g A h = P(t)$ | Masa de fluido | Pérdidas por fricción | Gravedad | Presión de bomba |
| Térmico (1er orden) |
$C_t\dot{T} + \tfrac{1}{R_t}T = \dot{Q}(t)$ | — | Capacidad térmica | Conductancia | Fuente de calor |
Por qué importa para tu certamen: si entiendes el comportamiento de $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F(t)$, ya entendiste el circuito RLC, el control de nivel de un estanque y la respuesta térmica de un horno. Estudiar cuatro ecuaciones por separado es la forma cara de aprobar.
2. Mecánica: vibraciones, amortiguación y resonancia
Toda estructura que vibra —un puente, un eje, la carcasa de una bomba— responde a $m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F(t)$. Lo que decide si el sistema se estabiliza o se destruye no es la masa ni la rigidez por separado, sino el factor de amortiguamiento $\zeta = \dfrac{c}{2\sqrt{km}}$.
Respuesta libre según el amortiguamiento
Desplazamiento tras un golpe inicial. Las tres curvas salen de la misma ecuación; solo cambia $\zeta$.
Oscila y se apaga. Raíces complejas conjugadas. Es el caso de casi toda máquina real.
Vuelve al equilibrio en el menor tiempo posible sin oscilar. Es el objetivo de diseño de un amortiguador de auto o del cierre de una puerta cortafuego.
No oscila, pero demora. Raíces reales distintas. Sobra amortiguación y se paga en tiempo de respuesta.
El problema de la resonancia
Si la frecuencia de la fuerza externa se acerca a la frecuencia natural del sistema $\omega_n = \sqrt{k/m}$, la amplitud crece de forma abrupta. Con $\zeta$ pequeño, la amplificación puede superar diez veces la deformación estática.
En la práctica esto explica por qué un motor mal balanceado destruye su propio anclaje, por qué ciertos rangos de RPM están prohibidos en la ficha técnica de un equipo, y por qué la solución rara vez es "reforzar": muchas veces basta con correr la frecuencia natural cambiando masa o rigidez.
Factor de amplificación dinámica
Amplificación vs. razón de frecuencias $r=\omega/\omega_n$, para distintos $\zeta$.
3. Electricidad: el circuito RLC es el mismo problema
Aplicando la ley de mallas de Kirchhoff a un circuito RLC en serie, con la carga $q(t)$ como incógnita:
Compárala con la ecuación mecánica de la sección anterior. Son idénticas. La resistencia hace exactamente lo que el amortiguador: disipa energía. Y las tres respuestas posibles son las mismas tres, con el mismo criterio:
Aplicación industrial: es el fenómeno detrás del arco eléctrico al abrir un contactor, del dimensionamiento de snubbers y de por qué un banco de condensadores mal especificado puede entrar en resonancia con la inductancia de la red.
Respuesta al escalón de voltaje
Voltaje en el condensador ante un escalón. Misma forma que la respuesta mecánica: misma ecuación característica.
4. Electrónica: la constante de tiempo lo gobierna todo
Baja un orden: un circuito RC es una EDO de primer orden, $RC\dfrac{dv}{dt} + v = V_{in}(t)$, cuya solución ante un escalón es $v(t) = V\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$ con $\tau = RC$. Todo el diseño electrónico de tiempos —rebote de un pulsador, filtrado de ruido, temporización, muestreo de un sensor— se decide eligiendo $\tau$.
Carga de un condensador según $\tau$
A $t = \tau$ el sistema alcanzó el 63,2%. A $t = 5\tau$ se considera estabilizado.
Filtro pasa bajos: qué frecuencias sobreviven
Ganancia $|H(\omega)| = 1/\sqrt{1+(\omega RC)^2}$. La frecuencia de corte está en $-3$ dB.
El puente con Laplace: resolver esto en el dominio del tiempo es tedioso. Aplicando la transformada de Laplace, la EDO se vuelve álgebra: $\mathcal{L}\{v'\} = sV(s) - v(0)$, y la respuesta del circuito queda descrita por una función de transferencia $H(s)$. Ese cambio de dominio es exactamente lo que permite resolver el problema de la sección siguiente.
5. Optimización de la producción
Las líneas de producción no crecen indefinidamente. El modelo logístico $\dfrac{dP}{dt} = rP\left(1 - \dfrac{P}{K}\right)$ predice cómo la producción se aproxima a su capacidad máxima $K$ por limitaciones físicas o de personal, y permite planificar la expansión antes del estancamiento, no después.
Cómo leer la curva
- ▶ Crecimiento: aceleración inicial mientras los recursos sobran.
- ▶ Punto de inflexión: en $P = K/2$ la tasa de crecimiento es máxima; desde ahí la eficiencia marginal cae.
- ▶ Saturación: el sistema toca su techo $K$. Toda inversión adicional rinde cerca de cero sin un cambio estructural.
El punto de inflexión es la señal de gestión: es ahí, y no en la saturación, donde conviene decidir la ampliación de capacidad.
6. Logística y cadena de suministro
Mantener inventario cuesta dinero; quedarse sin stock cuesta clientes. Modelando el nivel de inventario con $\dfrac{dI}{dt} = a(t) - d(t)$, donde $a$ es reposición y $d$ demanda, se determina el punto de reorden óptimo y se minimiza el costo total de almacenamiento más pedido.
Entrada
Tasa de llegada $a(t)$
Almacén
Estado $I(t)$, gobernado por $dI/dt$
Salida
Demanda $d(t)$
Estructura de costos: política estática vs. política dinámica
Ejemplo ilustrativo con datos ficticios, construido para mostrar la forma del ahorro, no magnitudes reales.
7. Control de calidad y mantenimiento predictivo
Todo se degrada, y casi siempre lo hace de forma exponencial. La ley de enfriamiento de Newton $\dfrac{dT}{dt} = -k(T - T_{amb})$ y los modelos de decaimiento $Q(t) = Q_0 e^{-kt}$ permiten predecir cuándo una máquina cruzará su umbral de falla o cuándo un producto perecible dejará de ser viable.
Acá se cierra el círculo con la sección de mecánica: la variable que se monitorea en una turbina es la amplitud de vibración, y esa amplitud es la solución de la misma ecuación de segundo orden. El mantenimiento predictivo no es un sensor: es un modelo.
Ejemplo de aplicación
Se monitorea la integridad de un componente que decae según $Q(t)=Q_0e^{-kt}$ con umbral crítico en 60%. El modelo indica el cruce en t ≈ 34 días, y la mantención se programa al día 30. La decisión no la toma el sensor: la toma la ecuación.
Degradación exponencial contra el umbral crítico de operación.
8. Semáforos: escalón, delta de Dirac y la onda verde
Este es el ejemplo que más cuesta creer en clases y el que mejor muestra para qué sirven las funciones discontinuas que aparecen en el capítulo de Laplace. Una intersección con semáforo es un sistema dinámico forzado por señales que se prenden y se apagan, y durante décadas se modeló exactamente así.
El semáforo es una función escalón
Un semáforo no varía de forma continua: descarga vehículos a tasa de saturación $s$ mientras está en verde, y a tasa cero mientras está en rojo. Esa conmutación es precisamente el escalón unitario de Heaviside $u(t-a)$, y una fase verde de duración $g$ que empieza en $t_0$ es la resta de dos escalones:
Con eso, la dinámica de la cola $q(t)$ en un acceso queda descrita por una EDO de primer orden con forzante discontinua:
Se acumula en rojo, se descarga en verde. Si en cada ciclo la descarga alcanza a limpiar lo acumulado, la cola es periódica y estable. Si no, crece sin límite: es la condición de sobresaturación.
Dinámica de la cola bajo forzante escalón
Diente de sierra estable vs. crecimiento acumulativo cuando la demanda supera la capacidad de descarga.
Y el pelotón es una delta de Dirac
Cuando el semáforo aguas arriba se pone en verde, no llegan autos de a uno: llega un pelotón compacto, casi todo en pocos segundos. Modelar cada vehículo es innecesario; la idealización natural es un impulso concentrado, es decir, la delta de Dirac $\delta(t - \tau)$, cuya integral es 1 y cuya duración es despreciable frente al ciclo.
Esta es la razón profunda por la que en el curso de EDO aparecen juntos el escalón, la delta y la transformada de Laplace: son las tres herramientas que se necesitan para atacar un sistema lineal forzado por eventos discretos. Al pasar a Laplace, $\mathcal{L}\{\delta(t-\tau)\} = e^{-s\tau}$, y ese $e^{-s\tau}$ es literalmente el desfase entre semáforos.
Precisión necesaria: el pelotón real no se mantiene compacto. Se dispersa a medida que avanza, porque los vehículos no viajan todos a la misma velocidad. Robertson incorporó ese efecto en TRANSYT (1969) con un modelo de dispersión de pelotones. La delta es la idealización de partida, no el modelo final.
Onda verde: diagrama espacio–tiempo
Cada línea horizontal segmentada es una intersección; los tramos marcados son fase verde. La diagonal es un vehículo a velocidad constante.
Sincronizar una avenida es resolver un sistema de EDO acopladas
Una intersección aislada es una ecuación. Una avenida con $n$ semáforos es un sistema, porque lo que descarga un cruce es lo que alimenta al siguiente:
El problema de la onda verde consiste en elegir los desfases $\tau_i$ de manera que el pelotón llegue a cada cruce justo cuando se abre el verde. En el diagrama de arriba, eso equivale a que la diagonal del vehículo no toque ningún tramo rojo: si la velocidad de diseño es 50 km/h y los cruces están cada 300 m, el desfase entre semáforos consecutivos debe ser de unos 21,6 s.
1963–1976
Gazis y Potts formulan el problema de la intersección sobresaturada; Gazis (1964) lo extiende a sistemas de intersecciones y D'Ans y Gazis (1976) a redes completas. Son modelos de tipo continuo: colas descritas por ecuaciones diferenciales y control óptimo sobre los tiempos de verde, con solución de tipo bang-bang.
1969–1982
TRANSYT (Robertson, 1969) optimiza planes de tiempo fijo con perfiles de flujo y dispersión de pelotones. Le siguen los sistemas adaptativos SCOOT (1982) y SCATS (1982), que ajustan en línea con datos de espiras en el pavimento.
Hoy
Control predictivo (MPC), modelos store-and-forward de Aboudolas y Papageorgiou y aprendizaje por refuerzo. Cambió el método de solución; el modelo de estado sigue siendo acumulación menos descarga.
Referencias: Gazis y Potts, The Oversaturated Intersection (1963); Gazis, Optimum Control of a System of Oversaturated Intersections, Operations Research (1964); D'Ans y Gazis, Optimal Control of Oversaturated Store-and-Forward Transportation Networks, Transportation Science (1976); Robertson, TRANSYT (1969); Hunt et al., SCOOT (1982).
Asignación presupuestaria de referencia en una planta manufacturera (ejemplo ilustrativo).
9. Planificación financiera
La viabilidad de un proyecto industrial depende de cómo se asigna el capital en el tiempo. El interés compuesto continuo es, otra vez, una EDO: $\dfrac{dA}{dt} = rA + P(t)$, donde $P(t)$ son los aportes y $r$ la tasa instantánea.
- Proyección de costos operativos variables.
- Capitalización continua y valorización de flujos.
- Depreciación de activos con tasas no constantes.
- Asignación óptima entre I+D y operación.